[미적분학]
다중적분 : 삼중적분, 원주좌표계(원기둥좌표계, 원통좌표계), 구면좌표계, 요령
Calculus: Multiple Integral
(triple integral, cylindrical coordinate system, spherical coordinate system)
안녕하세요. Hub1 입니다.
미적분학Calculus에서 배우는 내용에 대해 제가 직접 요약 정리한 내용을 공유합니다. ^^
이전 게시물에서는 다중 적분에 대해 입문하는 내용을 작성하였습니다.
그중에서도 이중적분 double integral에 포인트를 맞추었습니다.
이제는 여기서 하나 더 나아가서, 삼중적분 triple integral을 다루는 법을 알려드리고자 합니다.
가장 먼저 알아야할 것은, 계산 순서입니다.
아래 그림에서 볼 수 있듯이, 중요사항을 요약하면 다음과 같습니다.
(1) 안쪽부터 계산해나가야 한다는 점
(2) 안쪽의 변수는 '본인의 바깥쪽 변수들의 함수'로 구성된다는 것
(3) 세 변수의 적분(삼중적분)하는 경우..
가장 바깥쪽의 두 변수가 적분영역(적분 대상 공간영역)의 정사영 영역(면)을 의미하고
가장 안쪽의 한 변수가 적분영역의 높이를 결정한다는 점
위의 기본 원리를 바탕으로 적분영역(적분대상, 적분구간)을 표현할 수 있습니다.
이는 아래의 이미지에서 좌측 상단 부분을 참조하시길 바랍니다.
삼중적분은 크게 3가지 풀이법이 가장 일반적인데,
1. 단순히 xyz좌표계에서의 계산
2. 원기둥 좌표계=원주 좌표계=원통 좌표계=Cylindrical coordinate system 으로 계산
3. 구면좌표계=Spherical coordinate system 으로 계산
으로 구분됩니다.
각각의 좌표계끼리 변환하는 것은 위의 이미지에서 좌측 하단과 우측 상단을 참조해주세요.
저는 '대체로', 다음의 구조를 가지고 삼중적분을 계산합니다.
"xyz좌표계로 풀리는가?"--> "구면좌표계로 풀리는가?"-->"그렇다면 남은 건 원주좌표계니까 이거로 풀리겠네"
대부분의 문제가 이러한 생각을 가지고 있으면, 잘 풀리는 편입니다. (물론 예외가 있을 수 있음)
*꼭 암기하고 기억해야하는 공식이 추가로 있습니다. (이미지의 우측 중간쯤)
길이를 구하는 공식 / 넓이를 구하는 공식 / 부피를 구하는 공식 입니다.
이것들은 단순한 구조이기 때문에 외우기도 수월하고, "잘게 쪼갠 요소들을 합친다!"라는 느낌으로 받아들이시면 쉽게 이해가 될 것입니다.
-추가적으로 팁.
※원주(원기둥)좌표계와 구면좌표계로 변환할 때의 야코비안(Jacobian) 값은 반드시 암기해둘 것!
※오른쪽 가장 아래의 함수가 차지하는 부피의 식 (공식)은 암기해두면 정말 유용합니다.
마지막으로, 이번 내용들은 굉장히 중요하므로
역시나 빈칸테스트를 아래에 함께 첨부할게요.
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