[미적분학]
벡터미적분 : 스톡스 정리(스토크스정리) & 발산 정리
Calculus: Vector Calculus (Stoke's Theorem & Divergence Theorem)
안녕하세요. Hub1 입니다.
미적분학Calculus에서 배우는 내용에 대해 제가 직접 요약 정리한 내용을 공유합니다. ^^
벡터미적분학에서 남은 정말 중요한 정리 2가지를 드디어 다루게 되었습니다.
- 스톡스 정리 = 스토크스 정리 = Stoke's Theorem
- 발산 정리 = 가우스 발산 정리 = Divergence Theorem
입니다.
이 2가지에 대해 제대로 개념을 잘 잡고, 유형에 따라 문제푸는 데에 익숙해져야 합니다.
왜냐하면, 나중에 언제 어떠한 정리를 써야 될지 헷갈리게 되기 때문입니다. (그린정리vs스톡스정리vs발산정리)
각 정리에 대해 정리하면 아래와 같습니다.
*앞에서 배운 그린 정리도 헷갈릴까봐 함께 추가해두었습니다.
그린 정리
: 선적분과 면적분을 연결해주는 정리
해당 정리는 크게 2가지 조건을 반드시 만족시켰을 때에 사용 가능합니다.
(1) 주어진 "양의 방향"인 곡선 C가 "폐곡선"이고, C는 "영역R"을 둘러싸고 있다
(C=∂R은 폐곡선)
(2) 벡터장 F가 "주어진 영역 R내"에서 "c^1급(C¹급)"
#################################
스톡스 정리(스토크스 정리)
: 선적분과 면적분을 연결해주는 정리
해당 정리는 크게 2가지 조건을 반드시 만족시켰을 때에 사용 가능합니다.
(1) 주어진 "양의 방향"인 곡선 C가 "폐곡선"이고, C는 "곡면 S"을 둘러싸고 있다
(C=∂S은 폐곡선)
(2) 벡터장 F가 "주어진 곡면 S내"에서 "c^1급(C¹급)"
#################################
발산 정리
: 면적분과 삼중적분(부피적분)을 연결해주는 정리
해당 정리는 크게 2가지 조건을 반드시 만족시켰을 때에 사용 가능합니다.
(1) 주어진 "양의 방향"의 곡면 S가 "유향폐곡면"이고, S는 "공간영역E"을 둘러싸고 있다
(S=∂E은 유향폐곡면)
(2) 벡터장 F가 "주어진 공간영역 E내"에서 "c^1급(C¹급)"
처음에 이것들을 보면 익숙하지 않아서 개념 자체가 암기가 쉽지 않고 헷갈립니다.
이것은 많은 반복 학습이 필요합니다.
*위 정리에 대해 정리를 조금 더 해드릴게요.
[1]
-그린정리와 스톡스 정리(스토크스 정리)는 둘다 선적분(Single Integral)과 면적분(Double Integral)을 연결해주는 역할
-발산정리만 혼자 면적분(Double Integral)과 삼중적분(부피적분, Triple Integral)을 연결해주는 역할
--> 좀더 풀어쓰자면,
-그린정리와 스톡스정리는 적분 1개짜리 (Single Integral)와 적분 2개짜리 (Double Integral)간의 변환에 대한 정리
-발산정리는 적분 2개짜리와 적분 3개짜리 (Triple Integral)간의 변환에 대한 정리
[2]
-스톡스정리(스토크스 정리)는 그린정리를 더 일반화한 것이다.
--> 스톡스 정리는 3차원까지 확대된 형태이고, 그린정리는 이 스톡스정리를 2차원 평면에 적용시킨 특수 케이스
이제 제가 정리한 이미지를 아래에 보도록 하겠습니다.
*두 가지 꼭 기억해두어야할 사항.
(하나)
그린정리든, 스톡스정리든, 발산정리든...
이러한 정리는 반드시 "벡터장"에서의 (선or면)적분에 적용하는 것입니다.
스칼라장에서의 (선or면)적분에 사용하는 것이 아닙니다.
(둘)
저만의 요령(Tip)
문제에서 곡면S이 주어진 상태에서, 스톡스정리와 발산정리 중에 헷갈린다면?
--> 주어진 곡면S 안쪽으로 손가락이 들어갈 수 있는지 없는지 판단
(또는 모든 전 방향에서 곡면S에 물을 뿌렸을 때, 물이 그 안으로 들어갈 곳이 있는지 없는지 판단)
만약에 있다 --> 폐곡면이 아니므로, 스톡스정리
만약에 없다 --> 폐곡면이므로, 발산정리
로 유형화(패턴화)하면 쉽습니다.
이제 빈칸테스트를 아래에 올려드릴테니, 많은 복습 바랍니다.
댓글