[미적분학]
벡터미적분 : 응용편~ 스톡스 정리(스토크스정리) & 발산 정리
Calculus: Vector Calculus (Deepening problem~ Stoke's Theorem & Divergence Theorem)
안녕하세요. Hub1 입니다.
미적분학Calculus에서 배우는 내용에 대해 제가 직접 요약 정리한 내용을 공유합니다. ^^
그동안 미적분학의 모든 개념에 대해 이제 다 배운 상태입니다.
하지만, 개념에서는 구체적으로 알려주지 않지만 충분히 활용/응용 문제로 출제되는 것들에 대해 말씀드리려 합니다.
간단하게 요약하자면,
1. 스톡스 정리 (스토크스 정리, Stoke's Theorem)
--> "곡면의 양의 방향은 무엇이고, 이에 따라 경계곡선의 양의 방향은 무엇?"
스톡스 정리는 경계곡선(폐곡선)C와 곡면S의 관계를 활용한 정리입니다.
이러한 곡선과 곡면에 있어서 가장 중요한 것 중 하나는, "양의 방향의 기준이 무엇이냐"입니다.
왜냐하면 이 정리는 "양의 방향"을 기준으로 사용해야 하기 때문에..
만약 방향을 반대로 잡고 풀 경우에 구한 답의 부호도 반대가 나올 것입니다.
경계곡선으로 유계된 폐영역이라면 어떤 형태든지 같은 값을 가진다.
단, 부풀어오른 입체가 닫혀있어야 한다는 점 (즉, 거품이 터지면 안된다.)
방향을 결정하는 기준은 다음과 같습니다.
(문제에서 양의 방향을 정해준 경우)--> 문제에서 정해준 양의 방향을 기준으로 푼다.
(문제에서 양의 방향을 정해주지 않을 경우)--> 경계곡선C의 양의 방향을 기준으로 푼다.
*추가로, 만약 주어진 폐곡선(경계곡선)의 x,y,z 좌표 중 하나의 좌푯값이 언제나 상수인 경우
스톡스정리를 그린정리 형태로 바꿔서 더 쉽게 풀 수 있습니다.
예: z값이 항상 상수인 경계곡선(폐곡선) C는, dz=0이므로 그린정리 형태를 만들 수 있음.
즉, 경계곡선에 정확하게 달라붙어있는 평면을 대상으로 그린정리를 써서 풀면 쉽게 풀 수 있음.
(다시 말해, 비눗방울을 불기 직전에 장난감에 납작하게 달라붙어 있는 비눗물 = 평면 이라고 생각)
2. 발산 정리 (가우스 발산 정리, Divergence Theorem)
--> "뚜껑을 씌우냐(덮느냐)?"
발산 정리는 (유향)폐곡면 S와 그 내부영역(폐공간영역) E의 관계를 활용한 정리입니다.
이러한 폐곡면과 그 내부영역에 있어서 가장 중요한 것은 "폐공간영역이 맞는가"입니다.
왜냐하면 이 정리는 폐곡면에 의해 둘러싸여 있는 영역에 대해 사용해야 하기 때문에..
어느 방향에서든 바깥에서 이 영역 안으로 들어갈 틈이 없어야 합니다.
따라서 문제를 푸는 패턴(유형)은 다음과 같습니다.
(폐공간영역이 맞는 경우)
--> 발산정리 사용, 단 이때 양의 방향 역시 확인할 것.
일반적으로 폐곡면의 양의 방향은 영역의 안에서 바깥으로 빠져나가는 방향임.
(폐공간영역이 아닌 경우)
--> 방법1: 억지로 곡면 또는 평면을 하나 생성하여 뚜껑을 덮어서 폐곡면으로 만드는 방법
--> 방법2: 스톡스정리로 풀 수 있는지 확인
--> 방법3: 매개변수로 풀 수 있는지 확인
# 추가적으로 제가 이러한 유형의 고난도 (또는 심화, 응용) 문제를 풀 때에는
다음의 사고방식으로 합니다. (3차원 기준)
1. 주어진 문제를 3차원 그림으로 표현해본다.
2. 폐곡면(S)인가? 폐곡선(C)인가?
확인 방법: "주어진 곡면 혹은 영역에 내 손가락이 들어갈 틈이 있는가?"
(틈이 없다=폐곡면, 틈이 있다= 폐곡선)
2.1 폐곡면(S)인 경우
--> 발산정리로 해결 (만약 이것으로 안풀린다면, 매개변수)
2.2 폐곡선(C)인 경우
선택1--> 스톡스정리로 해결
선택2--> 뚜껑을 덮는 방법을 이용해 발산정리로 해결
(이것들로도 해결 안 된다면, 매개변수 이용)
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